PP865A 子集上定义线性地图来构造

15359029662 | 2023-03-23 17:52:02 阅读：43

PP865A 子集上定义线性地图来构造

通常，通过在向量空间的子集上定义线性地图来构造线性地图，然后线性延伸到线性跨度的领域。假设 $X$ 和 $Y$ 是向量空间和 $f:S\to Y$ 是一个功能定义在某个子集上 $S\subseteq X.$ 然后a线延伸关于 $f$ 到 $X,$ 如果存在，是一个线性映射 $F:X\to Y$ 定义于 $X$ 那延伸 $f$ ^[注1](意思是 $F(s)=f(s)$ 尽管 $s\in S$ )并从 $f.$ ^[9]当子集 $S$ 是的向量子空间 $X$ 然后一个( $Y$ 值)的线性扩张 $f$ 敬所有人 $X$ 当(且仅当)时保证存在 $f:S\to Y$ 是线性地图。^[9]特别是，如果 $f$ 线性延伸到 $\operatorname {span} S,$ 那么它有一个线性延伸到所有 $X.$

地图 $f:S\to Y$ 可以扩展到线性地图 $F:\operatorname {span} S\to Y$ 当且仅当无论何时 $n>0$ 是整数， $c_{1},\ldots ,c_{n}$ 是标量，而 $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ 向量是这样的 $0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},$ 那么必然 $0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).$ ^[10]如果的线性延伸 $f:S\to Y$ 存在线性延伸 $F:\operatorname {span} S\to Y$ 是独一无二的

F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)

适用于所有人 $n,c_{1},\ldots ,c_{n},$ 和 $s_{1},\ldots ,s_{n}$ 如上。^[10]如果 $S$ 与每个函数都是线性无关的 $f:S\to Y$ 到任何向量空间都有到(线性)映射的线性扩展 $\;\operatorname {span} S\to Y$ (反过来也是如此)。

例如，如果 $X=\mathbb {R} ^{2}$ 和 $Y=\mathbb {R}$ 然后是作业 $(1,0)\to -1$ 和 $(0,1)\to 2$ 可以从线性无关的向量组线性扩展 $S:=\{(1,0),(0,1)\}$ 上的线性地图 $\operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.$ 唯一的线性延伸 $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 是发送的地图 $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}$ 到

F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.

每一个(标量值)线性泛函 $f$ 定义于向量子空间实向量空间或复向量空间 $X$ 线性延伸到所有 $X.$ 事实上Hahn-Banach控制扩张定理甚至保证了当这个线性泛函 $f$ 是由一些给定的半模 $p:X\to \mathbb {R}$ (意思是 $|f(m)|\leq p(m)$ 适用于所有人 $m$ 在...的范围内 $f$ )则存在对的线性扩展 $X$ 这也是由 $p.$

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