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PP865A 子集上定义线性地图来构造
通常,通过在向量空间的子集上定义线性地图来构造线性地图,然后线性延伸到线性跨度的领域。假设和
是向量空间和
是一个功能定义在某个子集上
然后a线延伸关于
到
如果存在,是一个线性映射
定义于
那延伸
[注1](意思是
尽管
)并从
[9]当子集
是的向量子空间
然后一个(
值)的线性扩张
敬所有人
当(且仅当)时保证存在
是线性地图。[9]特别是,如果
线性延伸到
那么它有一个线性延伸到所有
地图可以扩展到线性地图
当且仅当无论何时
是整数,
是标量,而
向量是这样的
那么必然
[10]如果的线性延伸
存在线性延伸
是独一无二的
适用于所有人和
如上。[10]如果
与每个函数都是线性无关的
到任何向量空间都有到(线性)映射的线性扩展
(反过来也是如此)。
例如,如果和
然后是作业
和
可以从线性无关的向量组线性扩展
上的线性地图
唯一的线性延伸
是发送的地图
到
每一个(标量值)线性泛函 定义于向量子空间实向量空间或复向量空间
线性延伸到所有
事实上Hahn-Banach控制扩张定理甚至保证了当这个线性泛函
是由一些给定的半模
(意思是
适用于所有人
在...的范围内
)则存在对的线性扩展
这也是由
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