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PP865A 子集上定义线性地图来构造
15359029662 | 2023-03-23 17:52:02    阅读:43   发布文章

PP865A  子集上定义线性地图来构造

通常,通过在向量空间的子集上定义线性地图来构造线性地图,然后线性延伸线性跨度的领域。假设XY是向量空间和{\displaystyle f:S\to Y}是一个功能定义在某个子集上{\displaystyle S\subseteq X.}然后a线延伸关于fX,如果存在,是一个线性映射{\displaystyle F:X\to Y}定义于X延伸 f[注1](意思是{\displaystyle F(s)=f(s)}尽管s\in S)并从f.[9]当子集S是的向量子空间X然后一个(Y值)的线性扩张f敬所有人X当(且仅当)时保证存在{\displaystyle f:S\to Y}是线性地图。[9]特别是,如果f线性延伸到{\displaystyle \operatorname {span} S,}那么它有一个线性延伸到所有X.

地图{\displaystyle f:S\to Y}可以扩展到线性地图{\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}当且仅当无论何时n>0是整数,c_{1},\ldots ,c_{n}是标量,而{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}向量是这样的{\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}那么必然{\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}[10]如果的线性延伸{\displaystyle f:S\to Y}存在线性延伸{\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}是独一无二的

{\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}

适用于所有人{\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}如上。[10]如果S与每个函数都是线性无关的{\displaystyle f:S\to Y}到任何向量空间都有到(线性)映射的线性扩展{\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}(反过来也是如此)。


例如,如果{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}{\displaystyle Y=\mathbb {R} }然后是作业{\displaystyle (1,0)\to -1}{\displaystyle (0,1)\to 2}可以从线性无关的向量组线性扩展{\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}上的线性地图{\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}唯一的线性延伸{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }是发送的地图{\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}

{\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}


每一个(标量值)线性泛函 f定义于向量子空间实向量空间或复向量空间X线性延伸到所有X.事实上Hahn-Banach控制扩张定理甚至保证了当这个线性泛函f是由一些给定的半模 {\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }(意思是{\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}适用于所有人m在...的范围内f)则存在对的线性扩展X这也是由p.


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