LDGRB-01 所有函数空间的线性映射

15359029662 | 2023-03-23 17:42:47 阅读：49

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给线性地图命名的一个典型例子是函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx$ ，其中图表是一条穿过原点的线。^[7]
更一般地说，任何同质性 ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$ 在哪里 $c$ 以向量空间的原点为中心的是一个线性地图。
零点地图 ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$ 在两个向量空间之间(在相同的领域)是线性的。
这身份地图任何模上都是线性算子。
对于实数，地图 ${\textstyle x\mapsto x^{2}}$ 不是线性的。
对于实数，地图 ${\textstyle x\mapsto x+1}$ 不是线性的(而是一个仿射变换).
如果 $A$ 是一个 $m\times n$ 实阵，那么 $A$ 从定义线性地图 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb{R} ^{m}$ 通过发送列向量 $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ 到列向量 $A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}$ 。相反，任何线性映射之间有限维的向量空间可以用这种方式表示；参见矩阵，下面。
如果 ${\textstyle f:V\to W}$ 是一个等距真实的赋范空间到这样的程度 ${\textstyle f(0)=0}$ 然后 $f$ 是线性地图。这个结果对于复赋范空间不一定成立。^[8]
区别定义了从所有可微函数空间到所有函数空间的线性映射。它还定义了所有空间上的线性算子平滑函数(线性算子是线性的自同态，即具有相同的线性地图领域和上域).一个例子是
${\frac {d}{dx}}\left(c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)+\cdots +c_{n}f_{n}(x)\right)=c_{1}{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+c_{2}{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+\cdots +c_{n}{\frac {df_{n}(x)}{dx}}.$
明确的积分超过一些间隔 $我$ 是从所有实值可积函数的空间到上的线性映射 $我$ 到 $\mathbb {R}$ 。举个例子，
$\int _{a}^{b}\left[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)+\dots +c_{n}f_{n}(x)\right]\,dx={c_{1}\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx}+c_{2}\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx+\cdots +c_{n}\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx.$
不确定的积分(或者不定积分)用一个固定的积分起点定义了一个从空间上所有实值可积函数的线性映射 $\mathbb {R}$ 上所有实值可微函数的空间 $\mathbb {R}$ 。没有固定的起点，反导数映射到商空间常数函数的线性空间对可微函数的刻画。

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